已知抛物线y^2=2px(p>0),M.N为抛物线上的两点,且OM垂直于ON.

直线AB恒过定点(2p,0)

证明:
设M(X1,Y1),N(X2,Y2)则 y1^2=2px1,y2^2=2px2
∠MON=90
(y1*y2)/(x1*x2)=-1 即y1*y2=-4P^2
由直线MN得:y-y1=(y1-y2)/(x1-x2)*(x-x1)
因为 y1^2=2px1,y2^2=2px2两式相减
y1^2-y^2=2p(x1-x2)
(y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2)
(y1-y2)/(x1-x2)=2p/(y1+y2)
故y-y1=2p/(y1+y2)*(x-x1)

又y1*y2=-4P^2,y1^2=2px1,y2^2=2px2
(y-y1)(y1+y2)=2p*(x-x1)
yy1+yy2-y1^2-y1y2=2px-2px1
yy1+yy2-2px1+4p^2=2px-2px1
yy1+yy2=2px-4p^2
故(y2+y1)*y=2p*(x-2p)
x=2p时，y恒为0
所以直线AB过定点(2p,0)

命题1的逆命题
已知抛物线y^2=2px(p>0),M.N为抛物线上的两点,如果直线MN与x轴交于一定点，那么OM垂直于ON。
这是个假命题
取x轴上的定点P(a,0),其中a小于0.那么过P点做任意一条与抛物线相割的直线交于M，N两点，因为这两个交点在x轴的一侧，所以OM必然不垂直ON.

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